Introduction

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Je pose les bases dès le départ de la conversation : je ne suis pas mathématicien. Il n'empêche qu'il existe des domaines intéressants à explorer en tant qu'informaticien (ou pour le plaisir). Dans les lignes qui suivent, nous parlerons :

• de la Suites numériques

Identités remarquables

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• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• a² - b² = (a + b)(a - b)

Fractions

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• Pour additionner deux fractions, on multiplie chaque membre par le dénominateur de l'autre a/b + c/d = (ad + cb) / bd
• Multiplier deux fractions revient à multplier les numérateurs et dénominateurs entre-eux a/b x c/d = ad/bc

Puissances/Exposants

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• a^m x aⁿ = a^m+n
• a^m / aⁿ = a^m-n
• (a^m)ⁿ = a^mn
• abⁿ = aⁿ x bⁿ
• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• a^-n = 1 / aⁿ
• a^1/2 = a

Equations 1er degré

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Elles sont de la forme ax + b = 0. Elles acceptent une seule solution qui est x = -(b/a)

Equations du second degré

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Elles sont de la forme ax² + bx + c = 0. Elles acceptent au plus deux solutions (les racines de l'équation).

Pour obtenir simplement les racines, nous disposons d'un élément de calcul nommé le delta, qui vaut b² - 4ac. En fonction de sa valeur, nous pouvons déterminer 3 cas :

Delta > 0, alors l'équation admet deux racines x₁ et x₂ valant : x₁ = -b + Racine(Delta) / 2a et x₂ = -b - Racine(Delta) / 2a

Delta = 0, alors l'équation admet deux racines x₁ et x₂ identiques : x₁ = -b / 2a

Delta < 0, alors l'équation n'admet aucune racine réelle.

Les matrices

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Une matrice est un tableau de m lignes par n colonnes, noté A = (a_ij), avec i dans [1, m] et j dans [1, n]. C'est une matrice de genre m x n.

Deux matrices sont égales si elles ont le même genre et que les termes correspondants sont égaux.

Une matrice est carrée losrque m = n, et elle est notée d'ordre n. Elle dispose de quelques propriétés :

• les termes a_ij sont les termes de la diagonale principale
• une matrice est dite triangulaire si les termes d'un même côté sont nuls
• une matrice pour laquelle tous les termes sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale, est appelée une matrice Identité et est notée I_n

Opérations sur les matrices

La transposée d'une matrice est la matrice notée A^t passant du genre m x n à n x m

Le produit d'une matrice par un réel est la matrice obtenue en multipliant chaque terme de la matrice par ce réel.

La somme de deux matrices du même genre revient à additionner chaque terme de chaque matrice de même position

Le produit de la matrice A de genre m x n par la matrice B de genre n x p est une matrice C de genre m x p telle que chaque élément c_ij soit la somme des produits termes à termes de la i^e ligne de A par la j^e colonne de B.

Opérations sur les matrices

• A(BC) = (AB)C
• AI = IA = A
• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC = BC
• AB différent de BA
• AB = AC n'implique pas B = C

Le déterminant

Déterminant

Seules les matrices carrées admettent un déterminant. Soit la matrice $A$, on note son déterminant par $\det A$ ou $|A|$. On va se limiter aux matrices d'ordre $3$ au plus. Trois situations sont à considérer :

• Soit $A = ( a )$. On a : $$\det A = |A| = a.$$
• Soit $A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$. On a : $$\det A = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.$$
• Soit $A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$. On a : $$\det A = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$$ $$\phantom{\det A} = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32})$$ $$\phantom{\det A = } - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}).$$